松果开合張收(開心關心)-費氏數列/黃金比例的秘密
松果在干燥晴朗的日子鳞片会打开，相反，如果松果的鳞片紧闭，则表示即将下雨。松果的开合仿若是濕度計可以预报天气。
把捡到的干燥打开的松塔泡进水里，浸泡約十分鐘，已略有收合現象，浸泡約四十五分鐘，完全收合，如此可以观察到它是慢慢地合上了自己的鳞片。如果把松果再捞出来干燥，它又会慢慢进入打开状态。完全閉起的松果，要再完全張開鱗片，需要一整天的時間。
用水浇在上面就会缩回去。 放在太阳下面晒就会张开。 科学的道理是什麼呢？有些人直觉会認為匙热涨冷缩的道理。甚至認為-热胀冷缩，松油脂遇热融化外流，遇冷凝结云云。其實不是。
这些松果的鳞片开合收到湿度的控制。这种成熟的松果鳞片上是死细胞，吸湿和干燥是一个被动变化的过程。简单来说，这与松果鳞片上两层不同结构的组织有关，如果剖开松果，就能观察到两层不同的结构：
在内外两侧的组织中，纤维结构的排列方向不同，这也影响了它们吸湿膨胀的性能。因为吸湿膨胀的差异（外层更容易吸湿膨胀，内层则不容易变化），在不同湿度环境下松果的鳞片就会改变弯曲程度。
簡單說，松果就是靠內外两侧吸湿膨胀不平衡的材料，并通过湿度变化让它动起来，而有开合的現象，侊若会呼吸。
松果本身是没有生命的，只是松果表面和里面的材质吸收水分膨胀收缩不同，造成鳞片弯曲展开，不同湿度环境会影响松果闭合开放的，一直对空气湿度起反应。
為了傳宗接代，代代相傳大自然就是如此神奇。松果也就是通过两种（外侧和内侧）吸湿膨胀不平衡硬纤维在吸水时產生張弛动力，造成开合張收的效果，通过这样的运动，里面的松子就会掉下来，而這些帶有翅膀被釋放出的種子們，在風來時就可以飛翔，随风飘到更远的地方，延續擴闊松樹的生命。
費氏數列/黃金比例也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針, 仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，整齊排列交錯有致的鱗片真是大自然藝術傑作.
費氏數列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233………………… 233………………… 233…………………
若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為 Fib̂́acci 數列，簡稱費氏數列。
數列中每個數便是前兩個數之和而數列的最初兩個數都是 1。
黃金比例的定義
中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖
比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。
到 19 世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類
對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或 0.618 法，
是由美國數學家基弗於 1953 年首先提出的，70 年代在中國推廣。
根據 Fib̂́acci 數列所得出之黃金比例 Fib̂́acci 數列所得出之黃金比例
相鄰兩個數字相除 比值 相鄰兩個數字相除 比值
1/1 1.0000000000 34/55 0.6181818182
1/2 0.5000000000 55/ 89 0.6179775281
2/3 0.6666666667 89/144 0.6180555556
3/5 0.6000000000 144/233 0.6180257511
5/8 0.6250000000 233/377 0.6180371353
8/13 0.6153846154 377 /610 0.6180327869
13 /21 0.6190476190 610/987 0.6180344478
21/34 0.6176470588 987/1597 0.6180338134
表 2 取小數點以下三個位數所出現的比值為 0.618，
而其倒數則為 1/ 0.618 =1.618。
習慣上，0.618 或 1.618 均可稱之為黃金比例或黃金分割.
其小數點以下之數字並不會循環重複出現.
為什麼呢？
(see: http://calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/maple/Site/carnival/fibonacci/07.htm)
植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。
如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。
成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generative spiral）。
之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。
晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。
想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號 30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31 的原基之間的角度。
他們並且發現發散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是 ――「黃金角」。
如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：
由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為 。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360˚ – 360˚/Φ 大約是 137.5 度。
一九○七年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5 度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。
大自然的機制使得原基的生長遵循著有效率堆排的幾何原理。一九七九年，數學家伏格
（H. Vogel）以電腦模擬原基的生長情形，他用圓點來代表向日葵的原基，在發散角為固定
值的假設下，試圖找出最佳的發散角使這些圓點盡可能緊密地排在一起。他的電腦實驗顯示，
當發散角小於 137.5 度，圓點間就會出現空隙，而只會看到一組螺線；同樣的，如果發散角
超過 137.5 度，圓點間也會出現空隙，但是這次看到的是另一組螺線。因此，如果要使圓點
排列沒有空隙，發散角就必須是黃金角；而這時，兩組螺線就會同時出現。簡言之，要使花
頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角。
下面的圖(23)是用數學軟件模擬伏格的實驗結果，發散角由左至右依次為：
圖(23) 137.4 度 137.5 度 137.6 度
事實上，如果我們選用的發散角是三百六十度的有理數倍，就必定會得到一組徑向直線。
由於直線之間都有空隙，所以原基就無法排列得很緊密。結論是：想要以最有效的方式填滿
一個平面，發散角就必須是三百六十度乘以某個無理數，也就是乘以不能表示為分數的數。
但是要用哪一個無理數呢？實數不是有理數就是無理數，不過，某些無理數卻比其他無理數
更［無理］些。數論學家很早就知道，最［無理］的無理數就是黃金數，它很難以有理數近
似，如果我們能將近似的困難程度量化，將會發現它是最差的一個，這就是說黃金發散角會
使原基排列得最緻密。費氏數列相鄰兩項的比值趨近于黃金比值，由黃金矩形又可描出等角
螺線，等角螺線又出現在松果、菠蘿、雛菊、向日葵等，而它們的左右旋螺線數自又是費氏
數列相鄰的兩項，自然之造物真令人歎為觀止！
2018/02/17
John Ho 何宗阳
