松果开合張收(開心關心)-費氏數列/黃金比例的秘密

松果在干燥晴朗的日子鳞片会打开，相反，如果松果的鳞片紧闭，则表示即将下雨。松果的开合仿若是濕度計可以预报天气。

把捡到的干燥打开的松塔泡进水里，浸泡約十分鐘，已略有收合現象，浸泡約四十五分鐘，完全收合，如此可以观察到它是慢慢地合上了自己的鳞片。如果把松果再捞出来干燥，它又会慢慢进入打开状态。完全閉起的松果，要再完全張開鱗片，需要一整天的時間。

用水浇在上面就会缩回去。 放在太阳下面晒就会张开。 科学的道理是什麼呢？有些人直觉会認為匙热涨冷缩的道理。甚至認為-热胀冷缩，松油脂遇热融化外流，遇冷凝结云云。其實不是。

这些松果的鳞片开合收到湿度的控制。这种成熟的松果鳞片上是死细胞，吸湿和干燥是一个被动变化的过程。简单来说，这与松果鳞片上两层不同结构的组织有关，如果剖开松果，就能观察到两层不同的结构：

在内外两侧的组织中，纤维结构的排列方向不同，这也影响了它们吸湿膨胀的性能。因为吸湿膨胀的差异（外层更容易吸湿膨胀，内层则不容易变化），在不同湿度环境下松果的鳞片就会改变弯曲程度。

簡單說，松果就是靠內外两侧吸湿膨胀不平衡的材料，并通过湿度变化让它动起来，而有开合的現象，侊若会呼吸。

松果本身是没有生命的，只是松果表面和里面的材质吸收水分膨胀收缩不同，造成鳞片弯曲展开，不同湿度环境会影响松果闭合开放的，一直对空气湿度起反应。

為了傳宗接代，代代相傳大自然就是如此神奇。松果也就是通过两种（外侧和内侧）吸湿膨胀不平衡硬纤维在吸水时產生張弛动力，造成开合張收的效果，通过这样的运动，里面的松子就会掉下来，而這些帶有翅膀被釋放出的種子們，在風來時就可以飛翔，随风飘到更远的地方，延續擴闊松樹的生命。

 

費氏數列/黃金比例也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針, 仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，整齊排列交錯有致的鱗片真是大自然藝術傑作.

費氏數列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233………………… 233………………… 233…………………
若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為 Fib̂́acci 數列，簡稱費氏數列。
數列中每個數便是前兩個數之和而數列的最初兩個數都是 1。

黃金比例的定義 

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖
比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。
到 19 世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類
對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或 0.618 法，
是由美國數學家基弗於 1953 年首先提出的，70 年代在中國推廣。

根據 Fib̂́acci 數列所得出之黃金比例 Fib̂́acci 數列所得出之黃金比例
相鄰兩個數字相除       比值                    相鄰兩個數字相除                       比值
1/1                          1.0000000000                 34/55                       0.6181818182
1/2                          0.5000000000                 55/ 89                      0.6179775281
2/3                          0.6666666667                 89/144                     0.6180555556
3/5                          0.6000000000                 144/233                   0.6180257511
5/8                          0.6250000000                 233/377                   0.6180371353
8/13                       0.6153846154                  377 /610                  0.6180327869
13 /21                    0.6190476190                  610/987                   0.6180344478
21/34                     0.6176470588                  987/1597                 0.6180338134
表 2 取小數點以下三個位數所出現的比值為 0.618，

而其倒數則為 1/ 0.618 =1.618。

習慣上，0.618 或 1.618 均可稱之為黃金比例或黃金分割.

其小數點以下之數字並不會循環重複出現.

1：0.618就是黄金分割。这是一个伟大的发现。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…第二位起相邻两数之比，即2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,…的近似值。

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。^[4] 

画家们发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美，在达·芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。

為什麼呢？

(see: http://calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/maple/Site/carnival/fibonacci/07.htm)

植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。

如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。

成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generative spiral）。

之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。

晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。

想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號 30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31 的原基之間的角度。

他們並且發現發散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是 ――「黃金角」。
如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：

由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為 。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360˚ – 360˚/Φ 大約是 137.5 度。
一九○七年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5 度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。

大自然的機制使得原基的生長遵循著有效率堆排的幾何原理。一九七九年，數學家伏格
（H. Vogel）以電腦模擬原基的生長情形，他用圓點來代表向日葵的原基，在發散角為固定
值的假設下，試圖找出最佳的發散角使這些圓點盡可能緊密地排在一起。他的電腦實驗顯示，
當發散角小於 137.5 度，圓點間就會出現空隙，而只會看到一組螺線；同樣的，如果發散角
超過 137.5 度，圓點間也會出現空隙，但是這次看到的是另一組螺線。因此，如果要使圓點
排列沒有空隙，發散角就必須是黃金角；而這時，兩組螺線就會同時出現。簡言之，要使花
頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角。
下面的圖(23)是用數學軟件模擬伏格的實驗結果，發散角由左至右依次為：
圖(23) 137.4 度 137.5 度 137.6 度
事實上，如果我們選用的發散角是三百六十度的有理數倍，就必定會得到一組徑向直線。
由於直線之間都有空隙，所以原基就無法排列得很緊密。結論是：想要以最有效的方式填滿
一個平面，發散角就必須是三百六十度乘以某個無理數，也就是乘以不能表示為分數的數。
但是要用哪一個無理數呢？實數不是有理數就是無理數，不過，某些無理數卻比其他無理數
更［無理］些。數論學家很早就知道，最［無理］的無理數就是黃金數，它很難以有理數近
似，如果我們能將近似的困難程度量化，將會發現它是最差的一個，這就是說黃金發散角會
使原基排列得最緻密。費氏數列相鄰兩項的比值趨近于黃金比值，由黃金矩形又可描出等角
螺線，等角螺線又出現在松果、菠蘿、雛菊、向日葵等，而它們的左右旋螺線數自又是費氏
數列相鄰的兩項，自然之造物真令人歎為觀止！